Question

求抛物面z=4-x²-y²位于xOy平面上方部分的面积

Answer 1

求曲面2x²+3y+z²=47与曲面x²+2y²=z的交线上点(-2，1，6)处的切线和法平面。解：设F(x，y，z)=2x²+3y+z²-47=0(1) Q(x，y，z)=x²+2y²-z=0(2)在点(-2，1，6)处的偏导数：∂F/∂x=4x=-8；∂F/∂y=3；∂F/∂z=2z=12；∂Q/∂x=2x=-4；∂Q/∂y=4y=4；∂Q/∂z=-1；过点(-2，1，6)的切线方程为：(x+2)/L=(x-1)/m=(z-6)/n.(3).过点(-2，1，6)的法平面为：L(x+2)+m(y-1)+n(x-6)=0(4)；其中L=∣3 12∣=-3-48=-51； m=∣12 -8∣=-48-8=-56；n=∣-8 3∣=-32+12=-20 ∣4 -1∣ ∣-1 -4∣ ∣-4 4∣代入(3)式得切线方程为(x+2)/51=(x-1)/56=(z-6)/20；代入(4)式的切面方程为51(x+2)+56(y-1)+20(z-6)=0，即得51x+56y+20z-74=0.2.设函数z=f(x，υ)俱有二阶连续偏导数，其中υ=xy，求∂²z/∂x∂y解：∂z/∂x=∂f/∂x+y(∂f/∂υ)；∂²z/∂x∂y=x(∂²f/∂x∂υ)+∂f/∂υ+xy(∂²f/∂υ²)； 3.利用格林公式计算[L]∮(x²ycosx+2xysinx-y²e^x)dx+(x²sinx-2ye^x)dy， 其中L沿整个星形线 x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3)(a>0)的逆时针方向，。 解：P=x²ycosx+2xysinx-y²e^x；∂P/∂y=x²cosx+2xsinx-2ye^x； Q=x²sinx-2ye^x；∂Q/∂x=2xsinx+x²cosx-2ye^x=∂P/∂y； ∂P/∂y=∂Q/∂y，此积分与路径无关。取始点(-a，0)，终点(a，0)；此时y=0，dy=0。 故[L]∮(x²ycosx+2xysinx-y²e^x)dx+(x²sinx-2ye^x)dy=0 二。综合题 1.用拉格朗日乘数法在抛物面z=x²+y²上求一点使其到平面x+2y-2z=9的距离最短 解：设抛物面z=x²+y²上的一点P(x，y，z)到平面x+2y-2z-9=0的距离为S，则 S=∣x+2y-2z-9∣/√(1+4+4)=(1/3)∣x+2y-2z-9∣；现在要求在条件z-x²-y²=0约束下S的最小值。 作函数F(x，y，z)=(1/3)∣x+2y-2z-9∣+λ(z-x²-y²)； 令∂F/∂x=1/3-2λx=0.(1)；∂F/∂y=(2/3)-2λy=0.(2)；∂F/∂z=(2/3)+λ=0.(3) 由(3)得λ=-2/3；代入(1)式得x=-1/4；代入(2)得y=-1/2；z=1/16+1/4=5/16。 故得Smin=(1/3)∣-1/4-1-(5/8)-9∣=29/8. 2.一半径为10米的圆形蓄水池，池底形状未知，测得其水面至圆形水池的中心距离为r米处的水 深h满足关系式h=1/(1+r²)米，试计算水池的蓄水量。 解：以水池水面中心作坐标原点，垂直向下的直线为y轴，水面任一半径方向为x轴建立坐标 系。在此坐标系里，水深y=1/(1+x²)；(0≦x≦5)；1+x²=1/y；x²=(1/y)-1，](1/26≦y≦1) 故蓄水量Q=[1/26，1]π∫x²dy+25π×(1/26)=[1/26，1]π∫[(1/y)-1]dy+(25/26)π =π(lny-y)[1/26，1]+(25/26)π=π[-1-ln(1/26)+1/26]+(25/26)π=πln26=10.24m³