Question

特征多项式的解法

Answer 1

1、把|λE-A|的各行（或各列）加起来，若相等，则把相等的部分提出来（一次因式）后，剩下的部分是二次多项式，肯定可以分解因式。
2、把|λE-A|的某一行（或某一列）中不含λ的两个元素之一化为零，往往会出现公因子，提出来，剩下的又是一二次多项式。
3、试根法分解因式。
线性递推数列中的特征多项式
除了线性代数中的矩阵，对于常系数线性递推数列， 也存在特征多项式这个概念。而对于k阶常系数线性递推数列a(n+k)=c1a(n+k-1)+c2a(n+k-2)+...+cka(n)
我们也可以将这个数列写成矩阵形式，即
[a(n+1)] [ 0 1 0 ... 0] [a(n)]
[a(n+2)] [ 0 0 1 ... 0] [a(n+1)]
... = [ .... ] ...
[a(n+k)] [ck c(k-1) ... c1] [a(n+k-1)]
在这种意义上，这个线性递归数列的特征多项式将正好是上面公式中矩阵的特征多项式。
同样，如果记上面矩阵为A,我们可以给出这个数列一个线性代数形式的更加优美的公式:
[a(1)]
[a(2)]
a(n)=[1,0,...,0]A^{n-1}* ...
[a(k)]