一道定积分题：求解答过程
2个回答
展开全部
解：分享一种解法，利用欧拉积分（β函数、Γ函数）求解。
∵√[(1-x^2)/1+x^2)]=(1-x^2)/√(1-x^4)，
∴原式=∫(0,1)(1-x^2)dx/√(1-x^4)=∫(0,1)dx/√(1-x^4)-∫(0,1)x^2dx/√(1-x^4)。
令t=x^4，则dx=(1/4)t^(-3/4)dt，
∫(0,1)dx/√(1-x^4)=(1/4)∫(0,1)[t^(-3/4)](1-t)^(-1/2)dt=(1/4)β(1/4,1/2)，同理，∫(0,1)x^2dx/√(1-x^4)=(1/4)β(3/4,1/2)，
∴原式=(1/4)[β(1/4,1/2)-β(3/4,1/2)]={[Γ(1/4)]^2-4Γ(3/4)]^2}/[4(2π)^(1/2)]。
供参考。
∵√[(1-x^2)/1+x^2)]=(1-x^2)/√(1-x^4)，
∴原式=∫(0,1)(1-x^2)dx/√(1-x^4)=∫(0,1)dx/√(1-x^4)-∫(0,1)x^2dx/√(1-x^4)。
令t=x^4，则dx=(1/4)t^(-3/4)dt，
∫(0,1)dx/√(1-x^4)=(1/4)∫(0,1)[t^(-3/4)](1-t)^(-1/2)dt=(1/4)β(1/4,1/2)，同理，∫(0,1)x^2dx/√(1-x^4)=(1/4)β(3/4,1/2)，
∴原式=(1/4)[β(1/4,1/2)-β(3/4,1/2)]={[Γ(1/4)]^2-4Γ(3/4)]^2}/[4(2π)^(1/2)]。
供参考。
本回答由提问者推荐
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
