虚时间的奇点
1974年，年仅32岁的斯蒂芬·霍金发表了黑洞蒸发理论，其实早在1970年28岁时，他就曾经提出过膨胀宇宙的奇点定理：在宇宙1970的初创期不可避免地存在着奇点。
前文讲过，在通常黑洞的中心存在着奇点，在旋转黑洞的赤道上存在着环状的奇点。在介绍黑洞、大爆炸、大塌缩的读物里，‘奇点’这个陌生的名词频频出现。既别扭又难懂，难道就找不到其它的表达方法吗？读者们大概都有这样的抱怨。
但是，我们只能原样照搬地使用这个数学名词。所谓奇点，浅显易懂地说（也许笔者的解释并不浅显易懂），是一个非常奇特的点（这个点应该是无限小的），它存在于黑洞中以及大爆炸的起始点、大塌缩的终结点。
前面讲过，在数学上当分数的分子为有限值，而分母变成零时，或者三角函数里的正切函数tanx当x成为90度时的值都是无穷大。当x从89度开始渐渐接近90度时，tanx的值就无限地接近正无穷大；反过来当x从91度开始一点点地变小接近90度时，函数值将无限地接近负无穷大；当x正好是90度时，函数值（的绝对值）为无限大，无法判定其正负。数学上的奇点就是如此奇妙的点。
虽然简单地使用了无穷大，但是笔者个人认为这样的数在物理学里是不存在的……人们为了进行加减乘除开平方等各种数学计算，引入了分数、无理数、负数等等，但是无论什么数都不许被零除，在每一所学校里教师都这样严格地教导学生。无穷大只是嘴上说说而已，实际中从不使用。比如：我们说宇宙的大小为150亿光年，尽管极为广阔，但绝不是无穷大。
笔者认为，把数学套用到物理的现实世界时，所谓无穷大的数只是不得已而暴露出的不真实的数值。尽管是不真实的数值，如果它能够给我们带来方便的话，用之也无妨。
下面举个简单的例子。在物理问题中经常出现‘有个质量为m的点’之类的用词，质点是为了把力学问题简化而设想的非现实的点状物体，常有脑子好用且爱钻牛角尖的学生提出‘那个质点的密度是多大？’的问题，令教师为难，最合适的回答也许是‘不考虑质点的密度’。事实上正是因为所处理的问题不涉及密度，我们才放心地把‘质点’的概念引入力学之中。
在物理学里，对于（认真去分析的话）很奇怪的概念，只要我们不是直接地研究它，通常都采取默认的态度，这样的事例很多。当其影响不可避免时，则重新修正我们的思考方式。质点是力学中的约定俗成的概念。当我们分析发生在时空中的电子-光子相互作用时，也会出现刚才说过的无穷大的困难，该困难至今仍未得到完美的解决（或理解）。 接下来我们要讨论的问题是霍金等人指出的宇宙的奇点。对于不带自转的黑洞来说，视界或者说史瓦西半径以内的任何物质（包括光）都不可能跑出来，它们都落向中心点。黑洞大概是密度极高的球状物体……我们很愿意这样去想像，但它也可能是由中子星进一步缩聚而成，仍然保持着天体的形状。总之，黑洞的形状无人知晓。
原因在于，谁也无法知道黑洞之中究竟是什么状态。从它的外面来想像，我们只知道中心的引力值是无穷大，所以不妨认为黑洞内部的质量全部集中在中心点上。 由于引力强的地方空间弯曲得也厉害，随着接近中心，弯曲程度也愈来愈激烈。假如在不带自转的正球形黑洞里，空间将一下子靠向中央（那里的情景很难打比方，也很难想像），并且急剧地弯曲起来。在任何曲线的任何部位上，只要取无限短的一小段，都可以将其视为某个圆弧的一部分，圆的半径越小，曲线在该处的弯曲程度就越大。 我们乘火车时，在转弯处的铁路旁边经常能够看到标有转弯半径的标记，列车的设计时速越高，所要求的最小转弯半径就越大。我们将半径的倒数（1除以半径）叫做曲率，曲率越大，曲线越弯曲。 彭罗斯与霍金起先也认为宇宙起始于奇点、终止于奇点，从现在的宇宙向过去追溯的话，总会到达‘再没有以前’的一点——奇点，后退的终点也就是宇宙时间的起点，在该点上，质量为无穷大、弯曲为无穷大、其它的基本物理量都是无穷大，令物理学家们无从下手。宇宙似乎确实存在着起点，但是，宇宙是怎么开始的？在开始之前是什么样子？一切都笼罩在迷雾之中。
这些奇怪的概念都是爱因斯坦的广义相对论的必然推论，使人感到很无奈。但是，霍金并没有因此放弃努力，他把量子理论用到路径积分里发展了原来的路径积分方法，提出了‘无境界’宇宙模型。霍金勇敢地否定了自己以前提出的奇点定理，找出了回避奇点这个数学疑难的方法。
不过，无境界宇宙也不是个一提就懂的概念。虽然时空不可分割，为了便于理解，这里只考虑时间，所谓无境界就是没有任何断头的意思，霍金的结论用另一种说法来说就是：任何时候都存在时间，即使在大爆炸之前或大塌缩之后也不例外。 霍金的宇宙模型是个象地球一样的球形，球的表面代表宇宙空间，北极点对应于大爆炸。宇宙从北极点开始，球的纬度对应于宇宙的大小，随着时间的推移，宇宙逐渐沿北纬80度圈、70度圈、60度圈……的方向扩大，现在是宇宙诞生后大约150亿年，大致相当于北纬40度附近，再过100亿年左右宇宙将膨胀到最大状态——赤道上，然后转入收缩，进入地球模型上的南半球，最后是大塌缩，即模型上的南极点。
用地球来打比方是为了便于大家理解，重要的是：不把北极点和南极点当作特殊的点。的确，从几何学的角度看，极点与表面的其它部分完全相同。当然，地球的南、北极是自转的轴，按照纬度的定义，它们分别对应于南、北90度。霍金的宇宙模型里的南北极没有任何特殊的构造。
霍金与哈特尔一起消除了大爆炸和大塌缩的宇宙奇点，用地球来比喻他们的模型再恰当不过了，无论是在北极还是在南极都不存在无穷大或者其它的特殊因素。
