Question

已知直线y=x+1椭圆mx^2+ny^2=1(m>n>0相交于A.B两点，若弦AB的中点的横坐标等于-1/

已知直线y=x+1椭圆mx^2+ny^2=1(m>n>0相交于A.B两点，若弦AB的中点的横坐标等于-1/3，则双曲线x^/m^-y^/n^=1的两条渐近线的夹角的正切值等于多少

Answer 1

设A（x1,y1），B（x2,y2）
联立直线与椭圆的方程
y=x+1
mx^2+ny^2=1
消去y并整理得：
(m+n)x²+2nx+n-1=0
由韦达定理
x1+x2=-n/(m+n)
弦AB的中点的横坐标=(x1+x2)/2=-1/3
解之：n=2m
设其中一条渐近线的斜率为k=tanα(k>0)
则k=n/m=2
则tan（2α）=2k/(1-k²）=-4/3
两条渐近线的夹角的正切值=4/3(取锐角）