高数求解12题
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解：设x=ρcosθ，y=ρsinθ。则0≤ρ≤2cosθ，0≤θ≤2π，即D={(ρ,θ)丨0≤ρ≤2cosθ，0≤θ≤2π}，
∴原式=∫(0,2π)dθ∫(0,2cosθ)(cosθ+sinθ)ρ^2dρ=(8/3)∫(0,2π)(cosθ+sinθ)(cosθ)^3dθ。
而8(cosθ+sinθ)(cosθ)^3=8(cosθ)^4+8(sinθ)(cosθ)^3=3+4cos2θ+cos4θ+8(sinθ)(cosθ)^3，
∴原式=(1/3)[3θ+2sin2θ)+(1/4)sin4θ-2(cosθ)^4]丨(θ=0,2π)=2π。
供参考。
∴原式=∫(0,2π)dθ∫(0,2cosθ)(cosθ+sinθ)ρ^2dρ=(8/3)∫(0,2π)(cosθ+sinθ)(cosθ)^3dθ。
而8(cosθ+sinθ)(cosθ)^3=8(cosθ)^4+8(sinθ)(cosθ)^3=3+4cos2θ+cos4θ+8(sinθ)(cosθ)^3，
∴原式=(1/3)[3θ+2sin2θ)+(1/4)sin4θ-2(cosθ)^4]丨(θ=0,2π)=2π。
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