Question

问两道高数题，求积分





Answer 1

　　解：第1题，借用"标准正态分布N(0,1)的密度函数f(x)=[1/√(2π)]e^(-x^2/2)，在x∈R的积分为1”的性质来“巧解”。
　　∵∫(-∞,∞)f(x)dx=1，∴∫(-∞,∞)e^(-x^2/2)dx=√(2π)。
　　第2题，∵x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)，∴1/(x^3+1)=(1/3)[1/(x+1)-(x-2)/(x^2-x+1)]，
　　∴原式=(1/3)∫[1/(x+1)-(x-2)/(x^2-x+1)]dx=(1/3)ln丨x+1丨-(1/6)ln(x^2-x+1)+(1/2)∫dx/(x^2-x+1)。
　　而∫dx/(x^2-x+1)=(2/√3)arctan[(2x-1)/√3]+C1，
　　∴原式=(1/6)ln[(x+1)^2/(x^2-x+1)]+(1/√3)arctan[(2x-1)/√3]+C。
　　供参考。