Question

高等代数，证明：如果η1，η2...ηt是一线性方程组的解，那么u1η1＋u2η2＋...＋utη

高等代数，证明：如果η1，η2...ηt是一线性方程组的解，那么u1η1＋u2η2＋...＋utη也是方程组的解

Answer 1

设线性方程组的一般形式为Ax=b，对应的齐次线性方程为Ax=0，只需证明u1η1＋u2η2＋...＋utηt+η是其解。
。由于A(u1η1＋u2η2＋...＋utηt+η)=u1Aη1+u2Aη2+...+utAηt+Aη=0+0+...+b=b。这就说明u1η1＋u2η2＋...＋utηt+η是Ax=b的一个解。

追问

∑(j从1取到n) aijxj=bj, (i从1取到s),因为η1，η2，……ηt是方程组的解，所以u1η1,u2η2,......utηt分别是方程组解的u1,u2,......,ut倍，所以可得∑(j从1取到n) aijxj (i从1取到s)=（u1+u2+……+ut）bj，这样做对吗？

追答

对的。展开写也是可以的。
线性方程组Ax=b的解由齐次方程Ax=0通解u1η1＋u2η2＋...＋utηt（也就是Ax=0解空间基的线性组合）和非齐次Ax=b的一个特解η相加组成。

追问

谢谢