Question

设φ(x)在[0,1]可导,f(x)=(x-1)φ(x),证存在x0属于(0,1)使f(x0)导数

设φ(x)在[0,1]可导,f(x)=(x-1)φ(x),证存在x0属于(0,1)使f(x0)导数在线等

Answer 1

通过观察可以发现 x/(1+x^2)'=(1-x^2)/(1+x^2)^2
首先，当x=0时，x/(1+x^2）=0，故由0≤f(x)≤x/(1+x^2)可知f(0)=0;
其次，当x趋向于正无穷大时，也有x/(1+x^2）=0，由夹逼定理可知此时f(+∞)=0;
所以在区间（0，t）（t趋向于正无穷大），设F(x）=f(x)-x/(1+x^2），由拉格朗日中值定理可得：
存在ξ∈(0,+∞)，使得F'(ξ)=F(t)-F(0)/(t-0)(t趋向于正无穷)，当t趋向于正无穷时，可知F(t)-F(0)/(t-0)=0，即F'(ξ)=0，化简后即得结果。