Question

【微积分数列极限】用ε-N证明极限是0。（1）n^2/e^n (2)e^n/n!

Answer 1

（1）对任意ε>0，存在正整数N=[6/ε]+1，使对所有n>N，有
|n^2/e^n|=n^2/e^n
=n^2/(1+n+n^2/2!+n^3/3!+...)
<n^2/(n^3/3!)
=6/n
<6/N
=6/([6/ε]+1)
<6/(6/ε)
=ε
所以lim(n->∞)(n^2)/(e^n)=0
（2）对任意ε>0，存在正整数N=[(e^2)/ε]+1，使对所有n>N，有
|e^n/n!|=e^n/n!
<e^n/[√(2πn)*(n/e)^n] //这里运用了斯特林公式
<e^n/[(n/e)^n]
=[(e^2)/n]^n
=e^{ln[(e^2)/n]^n}
=e^[n(2-lnn)]
=(1/e)^[n(lnn-2)]
<(1/e)^(lnn-2)
<(1/e)^(lnN-2)
=e^2/N
=e^2/{[(e^2)/ε]+1}
<e^2/(e^2/ε)
=ε
所以lim(n->∞)(e^n)/(n!)=0

追问

不好意思太忙回复晚了！(1)第一步=n^2/(1+n+n^2/2!+n^3/3!+...)不懂道理
（2）我百度到斯特林公式就是个≈关系，第一步7，所以结果N后面应该是+7？

追答

（1）将e^n按照无穷级数的形式展开
e^n=1+n/1!+n^2/2!+n^3/3!+...
具体你可以查询下泰勒公式
（2）斯特林公式有一个精确等式
n!=√(2πn)*(n/e)^n*e^(an)

其中1/(12n+1)1，所以n!>√(2πn)*(n/e)^n
另外，你认为7是对的，这个确实是我的疏忽