Question

已知数列{an}是等比数列，a3=1，又a4，a5+1，a6成等差数列，数列{a_n/b_n }的前n项

已知数列{an}是等比数列，a3=1，又a4，a5+1，a6成等差数列，数列{a_n/b_n }的前n项和Sn=(n-1)2n-2+1(n∈N*).
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式.
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，若T2n-Tn≥t对一切正整数n都成立，求实数t的取值范围.

Answer 1

（1）设{an}的公比为q，∵a3=1，∴a4=q，a5=q2，a6=q3．∵a4，a5+1，a6成等差数列，∴2（q2+1）=q+q3，解得q=2． （2分）∴an=a3qn-3=2n-3． （3分）当n=1时，a1b1＝S1＝1，∴b1＝a1＝14．（4分）当n≥2时，anbn＝Sn?Sn?1＝n?2n?3，∴bn＝14 n＝11n n≥2（6分）（2）用数学归纳法证明如下：①当n=3时，左边=T3?14＝(14+12+13)?14＝12+13＝56．右边=12log23∵25＞33，∴256＞312，∴log2256＞log231

追问

(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，若T2n-Tn≥t对一切正整数n都成立，求实数t的取值范围.