Question

求函数y=sinx-cosx+sinxcosx的值域

Answer 1

函数y=sinx-cosx+sinxcosx的值域为[-(1+2√2)/2，1]。

解答过程如下：

y=sinx-cosx+sinxcosx

=√2[(√2/2)sinx-(√2/2)cosx]+½sin2x

=√2sin(x-π/4)+½cos(π/2 -2x)

=√2sin(x-π/4)+½cos[2(x-π/4)]

=√2sin(x-π/4)+½[1-2sin²(x-π/4)]

=-sin²(x-π/4)+√2sin(x-π/4)+½

=-sin²(x-π/4)+√2sin(x-π/4)-½+1

=-[sin(x-π/4) - √2/2]²+1

sin(x-π/4)=√2/2时，y取得最大值，ymax=1

sin(x-π/4)=-1时，y取得最小值，ymin=-(1+2√2)/2

函数的值域为[-(1+2√2)/2，1]

扩展资料：

求函数值域的方法：

1.图像法。根据函数图象，观察最高点和最低点的纵坐标。

2.配方法。利用二次函数的配方法求值域，需注意自变量的取值范围。

3.单调性法。利用二次函数的顶点式或对称轴，再根据单调性来求值域。

4.反函数法。若函数存在反函数，可以通过求其反函数，确定其定义域就是原函数的值域。

5.换元法。包含代数换元、三角换元两种方法，换元后要特别注意新变量的范围。

6.判别式法。判别式法即利用二次函数的判别式求值域。

7.复合函数法。设复合函数为f[g(x)，]g(x) 为内层函数, 为了求出f的值域，先求出g(x)的值域, 然后把g(x) 看成一个整体，相当于f(x)的自变量x，所以g(x)的值域也就是f[g(x)]的定义域，然后根据 f(x)函数的性质求出其值域

参考资料：百度百科-值域

Answer 2

先说下方法：
令t=sinx+cosx，因t^2=1+2sinxcosx，
所以y=t+2t^-2，注意t的范围是[-√2,√2]。

下面就变成一个初中就学过的二次函数，可以根据图像求出值域。

Answer 3

解：
y=sinx-cosx+sinxcosx
=√2[(√2/2)sinx-(√2/2)cosx]+½sin2x
=√2sin(x-π/4)+½cos(π/2 -2x)
=√2sin(x-π/4)+½cos[2(x-π/4)]
=√2sin(x-π/4)+½[1-2sin²(x-π/4)]
=-sin²(x-π/4)+√2sin(x-π/4)+½
=-sin²(x-π/4)+√2sin(x-π/4)-½+1
=-[sin(x-π/4) - √2/2]²+1
sin(x-π/4)=√2/2时，y取得最大值，ymax=1
sin(x-π/4)=-1时，y取得最小值，ymin=-(1+2√2)/2
函数的值域为[-(1+2√2)/2，1]

Answer 4

解；设t=sinx-cosx
则t²=1-2sincos
sincos =(1-t²)/2
所以y=t-(1-t²)/2
=t²/2+1/2
因为sinx-cosx=√2（sin45°sinx-cos45°cosx)
√2cos(45°-x)
所以t∈[-√2,√2]
所以y∈[1/2,3/2]