求函数y=sinx-cosx+sinxcosx的值域
函数y=sinx-cosx+sinxcosx的值域为[-(1+2√2)/2,1]。
解答过程如下:
y=sinx-cosx+sinxcosx
=√2[(√2/2)sinx-(√2/2)cosx]+½sin2x
=√2sin(x-π/4)+½cos(π/2 -2x)
=√2sin(x-π/4)+½cos[2(x-π/4)]
=√2sin(x-π/4)+½[1-2sin²(x-π/4)]
=-sin²(x-π/4)+√2sin(x-π/4)+½
=-sin²(x-π/4)+√2sin(x-π/4)-½+1
=-[sin(x-π/4) - √2/2]²+1
sin(x-π/4)=√2/2时,y取得最大值,ymax=1
sin(x-π/4)=-1时,y取得最指敬小值,ymin=-(1+2√2)/2
函数的值域为[-(1+2√2)/2,1]
扩展资料:
求函数值域的方法:
1.图像法。根据函数图象,观察最高点和最低点的纵坐标。
2.配方法。利用二次函数的配方法求值域,需注意自变量的取值范围。
3.单调性法。利用二次函数的顶点式或对称轴,再根据单轿纳调性来求值域。
4.反函数法。若函数存在反函数,可以通过求其反函数,确定其定义域就是原函数的值域。
5.换元法。包含代数换元、三角换元两种方法,换元后要特别注意新变量的范围。
6.判别式法。判别式法即利用二次函数的判别式求值域。
7.复合函数法。设复合函数为f[g(x),]g(x) 为内层函数, 为了求出f的值域,先求出g(x)的值域, 然后把g(x) 看成一个整体,相当于f(x)的自变量x,所以g(x)的值域也就是f[g(x)]的定义域,然后根据 f(x)函闭逗没数的性质求出其值域
参考资料:百度百科-值域
令t=sinx+cosx,型空因t^2=1+2sinxcosx,
所以y=t+2t^-2,注卜御瞎意t的范围是[-√2,√2]。
下面就变成一个初中就学过的二拆败次函数,可以根据图像求出值域。
y=sinx-cosx+sinxcosx
=√2[(√2/2)sinx-(√2/2)cosx]+½sin2x
=√让耐2sin(x-π/4)+½cos(π/2 -2x)
=√2sin(x-π/4)+½cos[2(x-π/4)]
=√2sin(x-π/4)+½[1-2sin²高滑祥(x-π/4)]
=-sin²(x-π/4)+√2sin(x-π/4)+½
=-sin²(x-π/4)+√2sin(x-π/4)-½+1
=-[sin(x-π/4) - √2/2]²戚搏+1
sin(x-π/4)=√2/2时,y取得最大值,ymax=1
sin(x-π/4)=-1时,y取得最小值,ymin=-(1+2√2)/2
函数的值域为[-(1+2√2)/2,1]
则t²=1-2sincos
sincos =(1-t²姿运)/2
所以y=t-(1-t²)/2
=t²/2+1/2
因为sinx-cosx=√2(sin45°sinx-cos45°cosx)
√2cos(45°-x)
所以纳迹t∈[-√2,√2]
所以y∈[1/2,3/2]