Question

e^-x(cosx)^2的不定积分

Answer 1

∫(e^x-cosx)²dx=∫（e^2x-2e^xcosx+cos²x）dx=∫e^2xdx－2∫e^xcosxdx＋∫cos²xdx
其中∫e^2xdx=1/2e^2x,
∫e^xcosxdx=∫e^xd(sinx)
=e^xsinx-∫sinxe^xdx
=e^xsinx+∫e^xd(cosx)
=e^xsinx+e^xcosx-∫e^xcosxdx
所以 2∫e^xcosxdx=e^xsinx+e^xcosx
∫cos²xdx=∫(1+cos2x)/2 dx
=1/4∫(1+cos2x)d(2x)
=(2x+sin2x)/4
故原式=1/2e^2x-e^xsinx-e^xcosx+(2x+sin2x)/4+C

Answer 2

这是分部积分法的一种类型.
∫e^(-x) cosx dx
＝－∫e^(-x) dsinx
＝e^(-x)sinx＋∫e^(-x) sinx dx
＝e^(-x)sinx－∫e^(-x) dcosx
＝e^(-x)sinx－e^(-x)cosx－∫e^(-x) cosx dx
移项,得∫e^(-x) cosx dx＝1/2×e^(-x)(sinx－cosx)＋C
同理,∫e^(-x) sinx dx＝1/2×e^(-x)(－sinx－cosx)＋C