Question

高中数学解析几何

设圆满足：1截Y轴所得弦长为2 2被X轴分成两段圆弧其弧长比为3：1
在满足1，2条件的所有圆中 求圆心到直线L：X-2Y=0的距离最小的圆
求详细解释和答案
谢谢了

Answer 1

解：
根据条件2,
知道圆心与圆和x轴的两个
交点的连线成直角。
(因为圆心角所对的弧是π/2)
所以设圆心的坐标为(x,y)
则|y|就是这个等腰直角三角形的
斜边的高
所以半径=直角边=√2*|y|

再看与y轴交点所组成的三角形中，
|x|是等腰三角形底边的高
所以|x|=√(r^2-(2/2)^2)
=√(2y^2-1)
所以x^2=2y^2-1
这就是圆心的轨迹方程
设x-2y=k是与圆心轨迹相切的直线。
因为x-2y=k与x-2y=0平行，
所以切点就是所要求的圆心的坐标
把x=k+2y带入x^2=2y^2-1 (k+2y)^2
=2y^2-1
2y^2+4ky+k^2+1=0只有一个根
所以判别式=0
16k^2-8(k^2+1)=0
8k^2=8
所以k^2=1
所以k=-1,1
对应的切点为(1,1)或(-1,-1)
所以半径=√2
所以方程为：
(1)(x-1)^2+(y-1)^2=2
(2)(x+1)^2+(y-1)^2=2