Question

Xn=(-1)ⁿ×(1/n)的极限是多少？为什么？

Answer 1

n≥3 ∵Xn=4X(n-1) - 4X(n-2) ∴xn-2x(n-1)=2x(n-1)-4x(n-2)=2[x(n-1)-2x(n-2)] ∴[xn-2x(n-1)]/[x(n-1)-2x(n-2)] = 2 ∴数列{xn-2x(n-1)}是等比数列,公比为2 首项为x2-2x1=12-8=4 ∴n≥2时, xn-2x(n-1)=(x2-x1)*2^(n-2) =4*2^(n-2)=2^n 即xn-2x(n-1)=2^n 两边同时除以2^n ∴xn/2^n -x(n-1)/2^(n-1)=1 ∴{xn/2^n}为等差数列,公差为1 ∴xn/2^n=x1/2+(n-1)=n+1 ∴xn=(n+1)*2^n Sn=2*2+3*4+4*8+.+(n+1)*2^n ① 2Sn=2*4+3*8+4*16+.+n*2^n+(n+1)*2^(n+1) ② ①-②: -Sn=4+4+8+16+.+2^n-(n+1)*2^(n+1) =4+4[(2^(n-1)-1]-(n+1)*2^(n+1) =2^(n+1)-(n+1)*2^(n+1) =-n*2^(n+1） ∴Sn=n*2^(n+1)