Question

用拉格朗日中值定理求 当x趋近于0时，lim(e^tanx-e^sinx)/x^3的极限

Answer 1

结果为：1/2

解题过程如下：

原式=(e^tanx-e^sinx)/x³

=(e^tanx-e^sinx)/(tanx-sinx)*(tanx-sinx)/x³

而(e^tanx-e^sinx)/(tanx-sinx)=e^ξ，ξ在sinx与tanx之间

=e^ξ*(tanx-sinx)/x³

当x→0时，ξ→0，利用等价替换tanx-sinx~x³/2

=e^0*1/2

=1/2

扩展资料

求数列极限的方法：

设一元实函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一：

1、函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等，即f(x0+)≠f(x0-)。

2、函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存在。

3、函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于f(x0)或者f(x)在点x0无定义。则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的间断点。

设{xn}为一个无穷实数数列的集合。如果存在实数a，对于任意正数ε （不论其多么小），都∃N>0，使不等式|xn-a|<ε在n∈(N,+∞)上恒成立，那么就称常数a是数列{xn} 的极限，或称数列{xn} 收敛于a。

如果上述条件不成立，即存在某个正数ε，无论正整数N为多少，都存在某个n>N，使得|xn-a|≥a，就说数列{xn}不收敛于a。如果{xn}不收敛于任何常数，就称{xn}发散。

Answer 2

(e^tanx-e^sinx)/x³
=(e^tanx-e^sinx)/(tanx-sinx)*(tanx-sinx)/x³
而(e^tanx-e^sinx)/(tanx-sinx)=e^ξ,ξ在sinx与tanx之间
所以原式=e^ξ*(tanx-sinx)/x³
当x→0时,ξ→0,利用等价替换tanx-sinx~x³/2可知原式=e^0*1/2=1/2

Answer 3

e^b-e^a=e^a(e^(b-a)-1)~e^a(b-a)
无穷近似值代换

追问

那这样在用拉格朗日中值定理算导数的时候 不就把b-a消掉了吗

追答

消掉？再仔细看看想想

Answer 4

根据你写的f(x)=e^x,它的导数f`(x)=e^x.当x=ξ时，f`(ξ)=e^ξ所以你（1）中的式子是错误的。
根据拉格朗日中值定理可以推出f(b)-f(a)=f`(ξ)(b-a)
即e^tanx-e^sinx=e^ξ(tanx-sinx)
所以原式可以化为lime^ξ(tanx-sinx)/x³ ① 就是你（1）中的那个等式的右边。

x→0,ξ→0,lime^ξ=1，①得 lim(tanx-sinx)/x³ ②
根据等价代换tanx-sinx=tanx(1-cosx)=x*½x² 带入②式得½
所以当x→0是原式=½