Question

【高分100分】求解几个高等数学题目答案（题目见补充说明）之二

需带步骤：
1、在抛物线y=x^2上求一点P，使它到直线y=x-2的距离最短。
2、将二重积分I=∫[0到1]dy∫[y到1]e^(-x)dx交换积分次序，并计算积分值。
3、计算二重积分∫[-1到1]dx∫[0到（1-x^2)^(1/2)(即根号下1-x的平方)]【e^(-y)*sinx+(x^2+y^2)^(1/2)】dy

Answer 1

先帮你做了第一题，后面的二重积分我还没学到，不好意思

Answer 2

1. 因为抛物线y=x^2与直线y=x-2不相交，故距离最短点处（x0,y0）斜率应该等于直线斜率1，故2*x0=1，所以x0=1/2，y0=1/4，即所求点为（1/2，1/4）

2. I=∫[0到1]dx∫[0到x]e^(-x)dy=1-2/e

3. 原式=I1+I2，其中
I1=∫[-1到1]dx∫[0到（1-x^2)^(1/2)]【e^(-y)*sinx】dy
I2=∫[-1到1]dx∫[0到（1-x^2)^(1/2)【(x^2+y^2)^(1/2)】dy
由于积分区域（x轴以上的单位圆域）关于y轴对称，被积函数关于x为奇函数，故I1=0
对积分I2实行极坐标变换，很容易得I2==∫[0到π]dθ∫[0到1](r^2)dr=π/3，
故原式=π/3

Answer 3

嘿嘿,积分还米学过,但第一道我还是会的,用导数.
要使抛物线到直线y=x-2的距离最短,数形结合,从图上看,就是斜率为1的直线不断向上平移,直到于抛物线相切.所以假设切点横坐标为X。
抛物线导数为2x,所以抛物线在切点导数为2X=1，所以X=1/2，P为（1/2，1/4）
所以再用下点到直线距离公式得最短距离d=3根号2/4
积分米学过，呵呵。。。