Question

高等数学，分段函数的导数极限参数问题

非常感谢

Answer 1

左极限 lim<x→1->f(x) = lim<x→1->x+b = b+1,
右极限 lim<x→1+>f(x) = lim<x→1+>ln(x+a) = ln(a+1);
则 b+1 = ln(a+1)
左导数 lim<x→1->[f(x)-f(1)]/(x-1) = lim<x→1->(x-1)/(x-1) = 1,
右导数 lim<x→1+>[f(x)-f(1)]/(x-1) = lim<x→1+>[ln(a+x^2)-(b+1)]/(x-1)
f(x) 在 x = 1 处可导，则 右导数 = lim<x→1+>2x/(a+x^2) = 2/(a+1) = 1,
得 a = 1， b = ln2 - 1
,

追问

右导数 lim[f(x)-f(1)]/(x-1) = lim[ln(a+x^2)-(b+1)]/(x-1)
请问您是不是把1+带入x≤1的式子了呢 ？我不明白，帮我解答一下，麻烦了。
还有fx，x=1处可导，则右导数这个式子，确实没看懂，不好意思！麻烦帮我讲解一下，谢谢

追答

f(x) = x+b, x ≤ 1, 则由函数定义，得出 f(1) = 1+b
f(x) 在 x = 1 处可导，则 右导数 = 左导数。
既然可导，即右导数存在 (左导数是 1，本身就存在），
分母极限为 0，则分子极限为0， 可用洛必达法则。

追问

1+应该是一个大于1的数，f(x)=x+b,x≤1.并不在这个定义域范围内啊。

追答

f(1) 是常数， 自然用 f(x)=x+b, x≤1 计算，因为这里有等号，

不能用 f(x) = ln(a+x^2) , x > 1 计算, 因为无等号。
2x/(a+x^2) 是 [ln(a+x^2)-(b+1)]/(x-1) 用洛必达法则分子分母分别求导化简后得到的。