Question

已知fx=lnx+ax∧2-(2a+1)x,讨论fx的单调性。

Answer 1

x>0
f(x)=lnx+ax²-(2a+1)x
f'(x)=1/x+2ax-(2a+1)
f'(x)=[2ax²-(2a+1)x+1]/x
由于1/x>0
讨论:2ax²-(2a+1)x+1的即可
f'(x)=0有极值
2ax²-(2a+1)x+1=0
x=(2a+1±√(4a²+4a+1-8a)]/4a
x=2a+1±|2a-1|
x=1/(2a)或x=1
(一)a>0时，△≥0
①a∈(½，+∞)时，x∈(1/(2a)，1)，
f(x)单调↓，x∈(0，1/(2a))U(1，+∞)单调↑
②a∈(-∞，½]时，x∈(1，1/(2a))，
f(x)单调↓，，x∈(0，1)U(1/(2a)，+∞)单调↑

(二)a<0时，△≥0
f(x)单调↓，x∈[1，+∞)单调↑

Answer 2

已知f(x)=lnx+ax²-(2a+1)x,讨论f(x)的单调性。
解：f(x)的定义域：x>0;
f'(x)=(1/x)+2ax-(2a+1)=[2ax²-(2a+1)x+1]/x=(2ax-1)(x-1)/x=2a[x-1/(2a)](x-1)/x;
(一). a>0
①. 当1/(2a)≦1，即a≧1/2时，当1/(2a)≦x≦1时f'(x)≦0，即在区间[1/2a，1]内f(x)单调减；
当x∈(0，1/2a]∪[1，+∞)时f'(x)≧0，即在区间(0，1/2a]∪[1，+∞)内f(x)单调增；
②. 当1/(2a)≧1，即0<a≦1/2时，当1≦x≦1/(2a)时f'(x)≦0，即在区间[1，1/2a]内f(x)单调减；
当x∈(0，1]∪[1/2a, +∞)时f'(x)≧0，即在区间(0，1]∪[1/2a, +∞)内f(x)单调增；
(二). a<0;
(三). a=0；
这两项你自己讨论吧。