Question

求留数，如何解答，要详细过程？

Answer 1

求函数fz=e∧(1/z)/(1-z)在z=0点的留数
【解答】
f(z)=[e^(1/z)]/(1-z)在z=0点是其本性奇点。∵f(z)=(1+z+z^2+z^3+…+z^n+…)[(1+1/z+(1/2)/z^2+…+(1/n!)/z^n+…]=[(1+1/z+(1/2)/z^2+…+(1/n!)/z^n+…]+[(z+1+(1/2)/z+…+(1/n!)/z^(n-1)+…]+…+[(z^(n-1)+z^(n-2)+…+(1/n!)/z+…]+…=…+(1+1/2+…+1/n!+…)/z+(1+1+1/2+…+1/n!+…)+(1+1+1/2+…+1/n!+…)z+…，故Res[f(z),0]=1+1/2+…+1/n!+…=e-1。
f(z)=(1-e^(-z))/z^4,问z=0的留数
f(z)=(1-e^(-z))/z^4,问z=0处的留数
【解答】
f(z) = [1 - e^(- z)]/z^4
设g(z) = 1 - e^(- z)
g'(z) = e^(- z), g'(0) = 1
z = 0 是 g(z) 的一阶零点
z^4 是 f(z) 的三阶极点
∴Res[f(z), 0] = 1/2! * lim(z→0) d^2/dz^2 [(z - 0)^3 * (1 - e^(- z))/z^4]
= (1/2)lim(z→0) (- z^2 - 2z + 2e^z - 2) * e^(- z)/z^3
= (1/2)(1/3)
= 1/6
或者直接展开：
e^z = 1 + z + z^2/2 + z^3/6 + z^4/24 + ...
e^(- z) = 1 - z + z^2/2 - z^3/6 + z^4/24 - ...
1 - e^(- z) = z - z^2/2 + z^3/6 - z^4/24 + ...
[1 - e^(- z)]/z^4 = (z - z^2/2 + z^3/6 - z^4/24 + ...)/z^4
= 1/z^3 - 1/(2z^2) + 1/(6z) - 1/24 + ...
其中 1/z 的系数为1/6，∴Res[f(z), 0] = 1/6

追答

希望能帮到你

追问

虽然对我没什么用，不过考完了，分给你吧