Question

ABCD为正方形，P为正方形中一点，且满足角PAB＝角PBA＝15度，证明三角形DCP为等边三角形

ABCD为正方形，P为正方形中一点，且满足角PAB＝角PBA＝15度，证明三角形DCP为等边三角形额

Answer 1

证明：过点B作BG垂直AP交AP的延长线于G ,过点D作DH垂直AP于H
所以角G=90度
角AHD=角PHD=90度
所以三角形PGB是直角三角形
因为角PAB=角PBA=15度
所以PA=PB
因为角GPB=角PAB+角PBA
所以角PBG=30度
所以BG=1/2PB
因为角G+角PAB+角ABG=180度
所以角ABG=75度
因为四边形ABCD是正方形
所以AB=AD=CD
角ADC=角BAD=角PAB+角PAD=90度
所以角PAD=75度
所以角PAD=角ABG=75度
因为角G=角AHD=90度（已证）
所以三角形ABG全等三角形DAH (AAS)
所以角ADH=角PAB=15度
AH=BG=1/2PB
所以AH=1/2PA
因为PA=AH+PH
所以AH=PH
因为DH=DH
所以三角形ADH全等三角形PDH (SAS)
所以角ADH=角PDH=15度
AD=PD
所以PD=CD
所以三角形DCP是等腰三角形
因为角ADP=角ADH+角PDH=15+15=30度
角CDP=角ADC-解ADP=90-30=60度
所以三角形DCP是等边三角形

Answer 2

过P作平行于AB的线交AD、CB分别于EF，PF垂直于CB，且PF长度为CB的二分之一，设正方形边长为1,可以求出CF、PF的值，不难求出tan∠PCF=三分之根号三，即为30°，∠DCP=60°，后面就不说了撒，你应该很清楚了

追问

你的方法比较简单

Answer 3

用反证法。
先假设△DCP不是正三角形。那么在正方形ABCD 内部，做出一个正三角形FCD，连接FA、FB，∠FCD=∠FDC=60°，∠FDA=30°，因为AD=FD，所以∠DAF=∠DFA=75°，所以∠FAB=15°，同理可证，∠FBA=15°，则三角形FAB和△PAB是全等三角形，所以可得P和F重合。则△PCD是正三角形。