Question

高数 求出和函数并展开成相应幂级数

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Answer 1

解：∵∑[(-1)^(n-1)][x^(2n-1)]/{[2^(2n-2)](2n-1)!}=2∑[(-1)^(n-1)][(x/2)^(2n-1)]/[(2n-1)!]，
对照sinx的泰勒展开式，∴原式=2sin(x/2)。
又，x/2=x/2+π/6-π/6=(x+π/3)/2-π/6，∴sin(x/2)=sin[(x+π/3)/2-π/6]=(√3/2)sin[(x+π/3)/2]-(1/2)cos[(x+π/3)/2]。
而，sin[(x+π/3)/2]=∑[(-1)^(n-1)][(x+π/3)^(2n-1)]/{[2^(2n-2)](2n-1)!}、cos[(x+π/3)/2]=1+∑[(-1)^n][(x+π/3)^(2n)]/{[2^(2n)](2n)!}，
∴2sin(x/2)=(√3)sin[(x+π/3)/2]-cos[(x+π/3)/2]=(√3)∑[(-1)^(n-1)][(x+π/3)^(2n-1)]/{[2^(2n-2)](2n-1)!}-1+∑[(-1)^(n-1)][(x+π/3)^(2n)]/{[2^(2n)](2n)!}。
供参考。