Question

已知a>0,b>0,1/a^2+8/b^2=1,则a+b的最小值

Answer 1

a>0,b>0,(1/a²)+(8/b²)=1
设a=1/cost,b=(2√2)/sint,0<t<π/2
u(t)=a+b=(1/cost)+((2√2)/sint)
u'(t)=(sint/cos²t)-((2√2)cost/sin²t)
=(tan³t-(√2)³)·(cost/sin²t)
由u'(t)=0,0<t<π/2 得t=arctan(√2)
t∈(0,arctan(√2))时,u'(t)<0,u(t)在其上单减
t∈(arctan(√2),π/2 )时,u'(t)>0,u(t)在其上单增
得u(t)在t=arctan(√2)处取极小值,也是最小值
此时tant=√2,sint=(√2/√3),cost=1/√3
a=√3,b=2√3,a+b=3√3
所以 a+b的最小值是3√3.当a=√3,b=2√3时取到