Question

设M是抛物线y2=2px(p>0)上的任一点,F是它的焦点,求证:以FM为直径的圆和y轴相切

Answer 1

抛物线y²=2px；焦点F(p/2，0)；设抛物线上任一点M的坐标为(xo，√2pxo)；
那么FM的中点N的横坐标x=(xo+p/2)/2=(2xo+p)/4；纵坐标y=(√2pxo)/2；
即圆心N((2xo+p)/4,(√2pxo)/2);
以N为圆心，以FP为直径的园的半径r=∣FN∣=√{[(2xo+p)/4-p/2]²+[(√2pxo)/2-0]²}
=√[(2xo-p)²/16+(pxo)/2]=(2xo+p)/4=圆心N的横坐标。
∴以N为圆心，以FP为直径的园与y轴相切。