Question

高三圆锥曲线问题 求解答必采纳 只写第一问 第二问会的可以写一下

Answer 1

(1)
令P(2cosθ, √3sinθ), 0 < θ < π, Q(q, q')
C(1, 0)
QF = 2FP, 则: P的横坐标 - C的横坐标 = (1/2)(C的横坐标 - Q的横坐标)
P的纵坐标 - C的纵坐标 = (1/2)(C的纵坐标 - Q的纵坐标)
2cosθ - 1 = (1/2)(1 - q), q = 3 - 4cosθ
√3sinθ - 0 = (1/2)(0 - q'), q' = -2√3sinθ
Q(3 - 4cosθ, -2√3sinθ)在椭圆上:
(3 - 4cosθ)²/4 + (-√3sinθ)²/3 = 1
整理并利用sin²θ+cos²θ = 1得: cosθ = 7/8, sinθ = √15/8
P(7/4, 3√5/8), 用两点式得直线的方程为y = (√5/2)(x - 1)

(2)
A(-2, 0), B(2, 0), 令P(2cosθ, √3sinθ)
k1 = √3sinθ/[2(cosθ + 1)]
PF的斜率为k = (√3sinθ - 0)/(2cosθ - 1)
PF的方程为y = [√3sinθ/(2cosθ - 1)](x - 1)
代入椭圆的方程，并整理，得到(5 - 4cosθ)x² - 8(1 - cos²θ)x + 4(4cos - 5cos²θ) = 0
因为其一个解为x = 2cosθ, 分解因式得Q的横坐标为q = (10cosθ - 8)/(4cosθ - 5)
代入直线方程得其纵坐标为q' = 3√3sinθ/(4cosθ - 5)
Q((10cosθ - 8)/(4cosθ - 5), 3√3sinθ/(4cosθ - 5))
BQ的斜率k2 = [3√3sinθ/(4cosθ - 5) - 0]/[(10cosθ - 8)/(4cosθ - 5) - 2] = 3√3sinθ/[2(cosθ + 1)]k1 = (1/3)k1
λ = 1/3

整理很费神，自己仔细推导。