Question

高中数学——解三角形

当题目给的条件是两边一角，那么什么时候有双解，什么时候没有？

Answer 1

在解三角形问题时，须掌握的三角关系式
在△ABC 中，以下的三角关系式，在解答有关的三角形问题时，经常用到，要记准、记熟、灵活地加以运用。
4．解斜三角形的问题，通常要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所要求的量，从而得到实际问题的解。其中建立数学模型的思想方法，也是我们学习数学的归宿，用数学手段来解决实际问题，是学习数学的根本目的所在。
解题时应根据已知与未知，合理选择正、余弦定理使用，使解题过程简洁，要达到算法简练，算式工整、计算准确。
（1）．解斜三角形应用题的步骤
①准确理解题意，分清已知和未知，准确理解应用题中有关名词、术语，如仰角、俯角、视角、方向角、方位角及坡度、经纬度等；
②根据题意画出图形；
③将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要算法简练，计算准确，最后作答。
（2）．实际应用问题中有关名词、术语
①仰角和俯角：与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角。
②方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角。
③方位角：从指定方向线顺时针到目标方向线的水平角。
④坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数。
（3）．须熟悉的三角形中的有关公式
解斜三角形主要应用正弦定理和余弦定理，有时也会用到周长公式和面积公式，比如：
（ 为三角形的周长）
（ 表示 边上的高）

（可用正弦定理推得）
（ 为内切圆半径）
还须熟悉两角和差得正弦、余弦、正切及二倍角的正弦、余弦、正切公式。
五、注意点
1．在我们的课本上，推导正弦定理是从直角三角形出发得到的，说明对于直角三角形，正弦定理也是成立的，我们也须知道推导正弦定理的传统方法，是首先推出 ，然后各式均除以 ，即得到正弦定理公式。
课本上是利用向量知识推导正弦定理公式。它是平面向量知识的具体应用。
2．注意正弦定理的变形应用。
我们不难证明 ，（其中R为 外接圆半径）。
这样，正弦定理可有如下一些变形：
， ， ；
， ， ；
；
， ， ；
， ， 。
以上这些关系式，可根据问题的条件和求得结论选择加以应用。
3．关于已知两边和其中一边的对角，解三角形的讨论
已知两边和其中一边的对角，不能唯一确定三角形的形状，解这类三角形问题将出现无解、一解和两解的情况，应分情况予以讨论，图1与图2即是表示了在 中，已知 、 和A时解三角形的各种情况
当A为锐角时，

当A为直角或钝角时，

4．余弦定理的每一个等式中均含有四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，便可求得第四个量，当已知三边，可以求角，此时利用余弦定理得另一种形式。

Answer 2

解：∵0<A<π
∴0<2A<2π
则-π/6<2A-π/6<11π/6
又sin(2A-π/6)=1/2
∴2A-π/6=π/6或
2A-π/6=5π/6
∴A=π/6或A=π/2
而ΔABC为钝角三角形
∴A=π/6
∵sinB=√3sinC
b/sinB=c/sinC
令b/sinB=c/sinC=k(k≠0)
∴(b/k)=√3(c/k)
∴b=√3c
∵cosA=(b²+c²-a²)/2bc
∴cos(π/6)=(3c²+c²-4)/2√3c²
∴c²=4
故c=2
∴b=2√3
ΔABC的面积
S=(1/2)bcsinA
=(1/2)×2√3×2×sin(π/6)
=√3

Answer 3

sin(2A-π/6)=1/2
= sin(π/6)
= sin( π
- π/6
)；
2A
-
π/6
= π
- π/6，2A
= π，不合题意；∴ 2A
-
π/6
= π/6，A
= π/6；
sinB/sinC
=
b/c
=
√3，∴ b
>
c，C
>
B，B 是钝角；
sinB
= sin[ π
-
(C+π/6)
]
=
sin(C+π/6)
=
sinCcos(π/6)
+
sin(π/6)cosC
= √3sinC/2
+ cosC/2
= √3sinC，cosC
= √3sinC
= sin(π/3)/coc(π/3)
* sinC，
coc(π/3)cosC
= sin(π/3)sinC，
coc(π/3)cosC
-
sin(π/3)sinC
= cos(π/3+C)
=
0，π/3
+
C
=
π/2，C
= π/6；
sinA
=
sinC
=
sin(π/6)
=
1/2，sinB
= √3sinC
= √3/2；
b
= sinB
*
2/sinA
=
√3/2
*
4
=
2√3；
b 边的高
=
2sinC
=
2
*
1/2
=
1；
该三角形的面积为
1
*
2√3/2
= √3
。