Question

高数 请教大神

Answer 1

√x=cosx
最好的办法是通过作图解决。
在坐标上画y1=√x，y2=cosx，两根曲线的交点就是方程的根
显然，y1为一象限的抛物线函数，
y2为周期函数，且最大值为1.
可以看出，两者有一个在x∈（0,1）内的交点。
而当x>1时，y1>1，而x∈R, 始终有 y2<=1，所以，x>=1时两曲线不再有交点。
所以，√x=cosx有且仅有一个根，且在（0,1）内

追问

不通过图像可以吗？

追答

不通过图像，可以使用零值定理与单调性来解决。但
令f(x)=√x-cosx
f(0)*f(1)=-1*(1-cos1)<0
所以在（0,1）内必然有根，而在（0,1）内
需要讨论 f'(x)=-1/2√x+sinx的符号，获得单调性...b
比较繁琐

追问

我就是不知道 怎么讨论f'(x)=-1/2√x+sinx

追答

所以有些题目使用特定的方法会比较简单，使用常规方法会很繁琐。
f'(x)=-1/2√x+sinx
继续求2阶导数
f''(x)=cosx+1/4x^(-3/2)
显然，f'(x)在（0,1）是单调递减的
则最最小值为f'(1)==sin1-1/2

追问

哦哦