Question

求问这一步是怎么得来的，微分方程，求讲解

Answer 1

二阶常系数线性微分方程 y'' + py' + qy = f(x)
特征方程 r^2 + pr + q = 0, 有两个特征值特征根 r1， r2
则该微分方程的通解 y = C1e^(r1x) + C2e^(r2x) + y*(特解)
本题反过来用，已知解为 y = (1/2)e^(2x) - (1/3)e^(x) + y*
则特征值是 r = 2，1

Answer 2

首先，我们是在实数域内求解微分方程，微分方程一定有实函数形式的解，即不出现虚数i，而e^((1+√3i)x)=e^x(cos(√3x)+isin(√3x))，e^((1-√3i)x)=e^x(cos(√3x)-isin(√3x))都含有虚数i。其次，齐次线性微分方程的任意两个解的线性组合还是解，所以这两个解的和的一半是解，即e^xcos(√3x)是解。这两个解的差除以2i还是解，即e^xsin(√3x)也是解。