∫1/[1+(x+1)^1/3]dx求解题步骤
2017-12-03
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令(x+1)^(1/3)=u,则:x+1=u^3,∴dx=3u^2du。
∴∫{1/[1+(x+1)^(1/3)]}dx
=3∫[1/(1+u)]u^2du
=3∫[(u+1-1)^2/(u+1)]d(u+1)
=3∫{[(u+1)^2-2(u+1)+1]/(u+1)}d(u+1)
=3∫(u+1)d(u+1)-6∫d(u+1)+3∫[1/(u+1)]d(u+1)
=(3/2)(u+1)^2-6u+3ln|u+1|+C
=(3/2)[(x+1)^(1/3)+1]^2-6(x+1)^(1/3)+3ln|x+1|^(1/3)+C
=(3/2)[(x+1)^(2/3)+2(x+1)^(1/3)+1]-6(x+1)^(1/3)+ln|x+1|+C
=(3/2)(x+1)^(2/3)-3(x+1)^(1/3)+ln|x+1|+C
∴∫{1/[1+(x+1)^(1/3)]}dx
=3∫[1/(1+u)]u^2du
=3∫[(u+1-1)^2/(u+1)]d(u+1)
=3∫{[(u+1)^2-2(u+1)+1]/(u+1)}d(u+1)
=3∫(u+1)d(u+1)-6∫d(u+1)+3∫[1/(u+1)]d(u+1)
=(3/2)(u+1)^2-6u+3ln|u+1|+C
=(3/2)[(x+1)^(1/3)+1]^2-6(x+1)^(1/3)+3ln|x+1|^(1/3)+C
=(3/2)[(x+1)^(2/3)+2(x+1)^(1/3)+1]-6(x+1)^(1/3)+ln|x+1|+C
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