Question

定积分计算问题

这题可以用这种方法做吗？那么换元后的积分限是多少呢？为什么我求出来的是(1,1)？？

Answer 1

解：∵当n>时，(-1/2)[x^(n-1)e^(-x^2)丨(x=0,∞)=(-1/2)lim(x→∞)[x^(n-1)]/e^(x^2)，
而lim(x→∞)[x^(n-1)]/e^(x^2)，属“∞/∞”型，用洛必达法则，有lim(x→∞)[x^(n-1)]/e^(x^2)=lim(x→∞)A/e^(x^2)=0【其中，A是随n变化的有限常数】，
∴(-1/2)[x^(n-1)e^(-x^2)丨(x=0,∞)=0。
供参考。

Answer 2

构造函数F(x)=x²f(x)，则F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，F(0)=F(1)=0，由罗尔定理，存在一点ξ∈(0,1)，使F'(ξ)=0。 F'(x)=2xf(x)+x²f'(x)。 所以，2ξf(ξ)+ξ²f'(ξ)=0，所以2f(ξ)+ξf'(ξ)=0。

Answer 3

√(1-sin2x)=|sinx-cosx|，
然后分段积分