Question

请教数学大神下图圈中的问题

请教数学大神下图圈中的问题证明xn小于等于根号a加1，这个根号a加1是怎么来的？为什么不能是其他的数呢？请详细解释一下

Answer 1

问的好！其实此题我们知道他的极限是:
［1+√(1+4a)］/2.
求法很简单。令其极限为X则
√(a＋x)=x
解得x=［1+√(1+4a)］/2,另一根舍去。
其实，解答到这里，就已经说明数列是有极限。
回到你的问题上。证明有极限的基本套路！证明函数单调有界。已证函数有界。必须找到那个界。
而极限=［1+√(1+4a)］/2
＜［1+√(1+4a+4√a)］/2
＝［1+√(1+2√a)^2］/2
＝(1+1+2√a)/2
＝1+√a
所以他选择了这个上限。
是因为他一开始就知道了他的极限，从而构造出来的。估计是陈文灯的考研书上的吧。小技巧！

追问

先求出极限，再证明有界，一般情况下不是都去证明数列小于等于那个极限值吗？就像下图例题1那样

这里没有用2分之根号1加4a加1是因为表达式太复杂的原因，所以去构造一个较简单的表达式，可以这样理解吗？

请大神指教，谢谢！

追答

不是先求出极限，在证明有界..
一般的套路还是：证明单调且有界。
但如果你能直接求出其极限，那也是证明其极限存在的的。
针对你的问题。我是回复你：他是如何想到用√a+1作为其上限的。。
~是滴。。表达式比较复杂

追问

我的意思是，我在已经证明了数列已经单调递增或递减，要想再去证明数列有界，这个界去哪里找？不是一般求出极限，根据极限值来确定吗？

像上图例1先求出极限值是2，再去证明的an小于等于2这个上界，要不然这个界要如何得知呢？

请大神指教下，谢谢！

谢谢你！

Answer 2

你这是标准答案吗，感觉不对

追问

是的，标准答案

追答

追问

是的，我理解A如何求，我想问的是前面不是有一个证明xn小于等于根号a加1吗？

我想问根号a加1怎么得到的

追答

解决了吗，最近比较忙

我看了上面的答案，不过我认为并不是根据求出来的极限确定的界限，而是要根据具体题目给出的递推式求

追问

谢谢哈？

！