Question

怎么证明矩阵特征值的和等于矩阵的迹_

怎么证明矩阵特征值的和等于矩阵的迹_
把过程写的详细写,多谢了,我的数学差

Answer 1

矩阵的特征多项式xE-A，把行列式展开，是一个n次多项式，由根系关系可得；特征值的和就等于多项式得根得和，是第n-1次项的系数，是a11+a22+`````+ann。总之，把那个行列式展开，比较系数即可。

设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成( A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0。

扩展资料：

矩阵的迹性质

(1)设有N阶矩阵A，那么矩阵A的迹（用tr(A)表示）就等于A的特征值的总和，也即矩阵A的主对角线元素的总和。

1、迹是所有对角元素的和

2、迹是所有特征值的和

3、某些时候也利用tr(AB)=tr(BA)来求迹

4、tr（mA+nB）=m tr（A）+n tr（B）

(2)奇异值分解（Singular value decomposition ）

奇异值分解非常有用，对于矩阵A(p*q)，存在U(p*p)，V(q*q)，B(p*q)（由对角阵与增广行或列组成），满足A = U*B*V

U和V中分别是A的奇异向量，而B是A的奇异值。AA'的特征向量组成U，特征值组成B'B，A'A的特征向量组成V，特征值（与AA'相同）组成BB'。因此，奇异值分解和特征值问题紧密联系。如果A是复矩阵，B中的奇异值仍然是实数。

Answer 2

相似矩阵的对角线元素的和相等，
以特征值为对角线元素的矩阵与原矩阵相似，所以矩阵特征值的和等于矩阵的迹 。

Answer 3

看图