Question

第四题，大一，高等数学

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Answer 1

求微分方程 x(dy/dx)=xsinx-y的通解。
解：先求齐次方程 x(dy/dx)=-y的通解：
分离变量得：dy/y=-dx/x； 积分之得 lny=-lnx+lnc=ln(c/x);
故齐次方程的通解为：y=c/x；将常数c换成x得函数u，得y=u/x..........①
将①对x取导数得：dy/dx=(xu'-u)/x²..........②
将①②代入原式得：(xu'-u)/x=xsinx-u/x；化简得：u'=xsinx；
故u=∫xsinxdx=-∫xd(cosx)=-(xcosx-∫cosxdx)=-(xcosx-sinx)+c=sinx-xcosx+c........③
将③代入①式即得原方程的通解为：y=(sinx-xcosx+c)/x.