Question

在Rt△ABC中,BD,CE分别∠B,∠C的平分线,BD=9,CE=8√2（根号下），求 BC的长度

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Answer 1

我这个不用辅助线直接列式子就可以了。计算结果完全没问题

Answer 2

设BC=a,CA=b,AB=c,∠A=90°，
∴a^2=b^2+c^2,①

由角平分线长公式，√[ac(a+b+c)(a+c-b)/(a+c)=9,
平方，去分母得ac(a+b+c)(a+c-b)=81(a+c)^2,②
同理，ab(a+b+c)(a+b-c)=128(a+b)^2,③
这是个3元4次方程组。如何消去b,c，是个巨大的挑战。
(a+b+c)(a+c-b)=(a+c)^2-b^2=(a+c)^2-(a^2-c^2)=2ac+2c^2=2c（a+c).
②的两边约去(a+c),得2ac^2=81(a+c),④
同理，由③，2ab^2=128(a+b),⑤
④+⑤，代入①，得2a^3=209a+128b+81c,
∴c=(2a^3-209a-128b)/81,
代入①，a^2=b^2+(2a^3-209a-128b）^2/6561,
6561a^2=22945b^2-256b(2a^3-209a)+(2a^3-209a)^2,⑥
降低b的次数：⑤*22945/2+⑥*a,得
6561a^3=1468480(a+b)-256ab(2a^3-209a)+a(2a^3-209a)^2,
b(512a^4-53504a^2-1468480)=4a^7-836a^5+37120a^3+1468480a,
∴b=a(a^6-209a^4+9280a^2+367120)/(128a^4-13376a^2-367120),
代入⑤/(2a)*(128a^4-13376a^2-367120)^2,得
(a^6-209a^4+9280a^2+367120)^2=64(128a^4-13376a^2-367120)(128a^4-13376a^2-367120+a^6-209a^4+9280a^2+367120),设a^2=x,得
(x^3-209x^2+9280x+367120)^2=64(128x^2-13376x-367120）(x^3-81x^2-4096x),
待续

追问

......大神后面怎么解啊

追答

展开得x^6-418x^5+62241x^4-3144800x^3-67337760x^2+18560*367120x+367120^2
=64(128x^5-11705x^4-783111x^3+35213072x^2+367120*4096x),
整理得x^6-8610x^5+811361x^4+46974304x^3-2320974368x^2-89424558080x+134777094400=0,
系数超过10位，缺少相应的计算工具。

Answer 3

做辅助线，容易得出，BC等于BD加上CE

追问

仔细看图哦

追答

错了我吃屎

追问

BD+CD>BC 两边之和大于第三边
CE>AC>DC
BD+CE>BD+DC>BC

追答

这题有错吧

Answer 4

字写得很差，将就着看，答案与那位作图的仁兄一致

Answer 5

我在geodebra上建了一个简单的模型。（不太会用，应该能直接用这个软件解出题目，但是我不会给线段赋值）

我建里了一个直角三角形ABC， BD CE分别是角B 角C的平分线。在这个前提下我移动B、C点，使得BD=9， CE=11.3≈8√2。这时候测的BC=13.4， 其他长度和角度如图。

最后的结果，不算解出来，只是提供一个正确答案的大概的长度和角度，方便在算的同学有个大概的方向。

盼望大神能给正确的解题方法。