Question

高等数学 微分方程

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Answer 1

选 B。
(A) 令 x+y = u，则 y = u - x,
微分方程化为 du/dx - 1 = 1/u^2, du/dx = (1+u^2)/u^2
u^2du/(1+u^2) = dx ， 化为了可分离变量型微分方程。
(C) 令 x+y = u，则 y = u - x,

微分方程化为 du/dx - 1 = u^2, du/dx = 1+u^2
du/(1+u^2) = dx ， 化为了可分离变量型微分方程。
(D) 微分方程化为 x(lny-lnx)dy = -ydx , ln(y/x)dy/dx = -(y/x)
令 y = xu，则 dy/dx = u + xdu/dx, 微分方程化为
lnu(u + xdu/dx) = -u， lnudu/[u(1+lnu)] = -dx/x,
化为了可分离变量型微分方程。

Answer 2

解：微分方程为dy/dx=1/(x+y)²，化为dx/dy=(x+y)²，设x+y=u，微分方程化为d(u-y)/dy=u²，

du/dy-1=u²，du/dy=1+u²，du/(1+u²)=dy，此时微分方程已化为变量分离方程

继续解微分方程

有arctanu=y+c(c为任意常数)，u=tan(y+c)，原微分方程的通解为y+x=tan(y+c)

请参考

微分方程为dy/dx=(x+y)²+x，设y+x=u，微分方程化为d(u-x)/dx=u²+x，du/dx-1=u²+x，u'=u²+1+x，无法化为变量分离方程

再设1+x=v，微分方程化为du/dv=u²+v，u'=u²+v，

v=u'-u²，1=u"-2uu'，再设u'=z，有u"=dz/dv=zdz/du，微分方程化为1=zdz/du-2uz，zdz-(1+2uz)du=0，

此时微分方程也无法化为变量分离方程，也无法求出具体解

解隐式微分方程

请参考

与第一个微分方程同理，设x+y=u，微分方程化为

du/(1+u²)=dx，此时微分方程化为变量分离方程，

原微分方程的通解为y+x=tan(x+c)(c为任意常数)

请参考

微分方程为x(lnx-lny)dy-ydx=0，化为

dy/dx=-(y/x)/ln(y/x)，设y=ux，微分方程化为

d(ux)/dx=-u/lnu，xdu/dx+u=-u/lnu，

xdu/dx=-u-u/lnu，(1/u)lnudu/(lnu+1)=-dx/x，

lnud(lnu)/(lnu+1)=dln(1/x)，此时微分方程化为变量分离方程，lnu-ln|lnx+1|=ln(1/x)+ln|c|(c为任意非零常数)，u/(lnx+1)=c/x，原微分方程的通解为y=c(lnx+1)

请参考

随着分析学对函数引入微分运算，表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程进入数学家的视野，这就是微分方程。微分方程的形成与发展与力学、天文学、物理学等科学技术的发展密切相关。因为在现实的世界中，物质的运动及其变化规律在数学上是用函数关系来描述的，这意味着问题的解决就是要去寻求满足某些条件的函数，而这类问题就转换为微分方程的求解问题。微分方程为科学发现提供了有力工具，如：

牛顿通过使用微分方程研究天体力学和机械力学，从理论上得到行星运动规律；

天文学家亚当斯和天文学家勒维烈使用微分方程，找到了海王星。