高数求微分方程
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求微分方程 y'x=yln(y/x) 满足条件y(1)=2的特解
解：dy/dx=(y/x)ln(y/x)
令y/x=u, 则y=ux；于是dy/dx=y'=xu'+u；
故得 xu'+u=ulnu; xu'=u(lnu-1);
分离变量得du/[u(lnu-1)=dx/x
积分之得 ∫du/[u(lnu-1)=∫d[ln(lnu-1)]=ln(lnu-1)=lnx+lnc=lncx
故得lnu-1=cx，即 lnu=cx+1；ln(y/x)=lny-lnx=cx+1
lny=cx+1+lnx；即y=e^(cx+1+lnx)=xe^(cx+1);
将初始条件代入得c=ln2+1;
故特解为： y=xe^[(ln2+1)x-1]
解：dy/dx=(y/x)ln(y/x)
令y/x=u, 则y=ux；于是dy/dx=y'=xu'+u；
故得 xu'+u=ulnu; xu'=u(lnu-1);
分离变量得du/[u(lnu-1)=dx/x
积分之得 ∫du/[u(lnu-1)=∫d[ln(lnu-1)]=ln(lnu-1)=lnx+lnc=lncx
故得lnu-1=cx，即 lnu=cx+1；ln(y/x)=lny-lnx=cx+1
lny=cx+1+lnx；即y=e^(cx+1+lnx)=xe^(cx+1);
将初始条件代入得c=ln2+1;
故特解为： y=xe^[(ln2+1)x-1]
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