Question

极坐标方程定积分求面积

大神给看看。我怎么觉得两个曲线围成的面积应该是相减呢？
再加个图，是不是A-B是两个极坐标方程围成的图形的面积呢？

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Answer 1

如图，这是圆和双纽线的交集，实际上是两片叶瓣组成，如下图所示

如图，如有疑问或不明白请追问哦！

如下图解释 [0,π/6]∫sin²θdθ ，这是图中圆形割出来的“弓形”，从极点出发的0°到30°的积分

先把dθ当做5°，则从极点射出间隔为5°的射线，将圆弧分割为多段，将多段割线和30°的线段用黑色虚线相连，则黑色虚线围成的图形近似于[0,π/6]∫sin²θdθ。注意黑色虚线围成的是一个7边型。

完整大图如下：红色的是双纽线

而微积分的思想就是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这段话引用自我国古代数学家刘徽。

当dθ无限地小下去，分割的段数无穷大时，割出来的无穷多边型就和该“弓形”面积无异了。

而实际上我们不可能每做一次积分题都真的去割16段、128段、乃至65536段。而是找出规律，将积分中难以计算的部分转化为已经有数学先贤算好的计算模式！

而圆周率π，就是一种成熟的，已经有先贤替我们算到很高精确度结果的数学概念。

如此良心回答，不知楼主明白了吗？明白请点击“采纳”，谢谢。

追问

你的意思是，这个阴影部分的面积，是以θ=30°划分为2个部分，其一是cos2θ与θ=30°组成，另一部分是θ=30°与√2sinθ组成？
是不是我对极坐标方程定积分求面积理解有误？
（π/6，π/4）∫cos2θdθ，不是cos2θ与x轴之间的面积么？

追答

不是，极坐标对辐角进行积分时，其面积是一个曲边扇形

对角度积分，就相当于从极点出发的无数条射线，把被积图像切割成无数个三角形，其极点处夹角大小为dθ。

追问

是啊，所以阴影部分的面积应该是cos2θ从π/6到π/4的面积减去√2sinθ从0到π/6的面积啊。
如果极轴是x轴，阴影的面积应该是[cos2θ曲线、x轴和直线x=π/6围成的面积]减去[曲线√2sinθ、x轴和直线x=π/6围成的面积]啊
是这样理解么？

追答

这种理解是错误的！极坐标对角度积分并无x轴，0度对应极轴，30度对应极轴逆时针转30度。你不要把直角坐标系的惯性思维带到极坐标系上。