Question

求 (1＋cos²x)在下限π/4到上限5π/4的定积分

为什么积分限可以变为-π/2到π/2

Answer 1

把被积分函数拆为两部分1和cos²x，第一部分相等就不用说了吧，后面cos²项我觉得从定义出发给你解释比较基础：一重定积分的含义是被积函数与x轴形成图像的面积，从-π/2到π/2和π/4到5π/4区间内cos²x所形成的面积是一样的（因为有平方，y>=0，把原来cosx的图像在x轴下面的部分翻转上来即可，在x轴上的图像不变）。如果没能理解：直接升幂cos²x=（1+cos2x）/2积分出来就好啦，三角函数值熟练的话，这种算法不会比上面慢的。

Answer 2

1＋cos²x=3/2+cos2x/2, 所以原定积分=3/2(5π/4-π/4)+sin(π/2)/4-sin(π/2)/4=3π/2.
这里主要是利用了cos2x=2cos²x-1来把积分拆分成两个简单的积分计算。

Answer 3

因为1+cos²x的周期为π，所以可以写成-π/2到π/2

Answer 4

∫（π/4，5π/4）（1+cos²x）dx
=∫（π/4，5π/4）（3/2+cos2x/2）dx
=3π/2+1/4sin2x丨（π/4，5π/4）
=3π/2.

Answer 5