Question

一道线性代数问题，请问，如图24题，我不明白，答案我画红框处，怎么就知道B的其他的两个特征值是用A？

的λ2和λ3求的？为什么不是用A的λ1求呢？这里用到什么性质或者定理了吗？求指点，谢谢

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Answer 1

这个问题涉及几个基础结论，看上去你不熟悉，最好是先不要做题，好好看教材，把基础先补补齐。
既然B是A的多项式，那么A的特征向量一定是B的特征向量。事实上如果Ax=lambda x, B=f(A), 那么Bx=f(lambda)x。
另一个基本结论就是谱分解定理，这里A和B都是实对称矩阵，可以正交对角化。

追问

还有一个问题，那么为什么不用λ1而只用λ2，λ3求呢？

追答

怎么叫不用λ1而只用λ2，λ3求? 如果题目没给你λ1就没法确定B的特征值

追问

嗯，确定了B的一个特征值u1

u2,u3怎么来的，还是不太懂

求u2u3也是像求u1那样求嘛？

希望稍微详细说明一下

你前面说，若B是A的特征多项式，则A和B的特征向量相同，这个怎么来的？

追答

B*alpha2=1*alpha2, 所以mu2=1

追问

那我写的那个步骤对么？

追答

你最后那张图里的方法是对的。
注意，如果B是A的多项式，那么A的特征向量一定是B的特征向量，就按图里的方法证。不要说A和B的特征向量相同，因为B的特征向量未必是A的特征向量。

追问

奈斯，谢谢啦

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