Question

高数题 计算二重积分

Answer 1

解：1大题(1)小题，D={(x,y)丨0≤x≤1，x≤y≤2x}。∴原式=∫(0,1)dx∫(x,2x)(x2-y2)dy=∫(0,1)(-4x3/3)dx=-1/3。(2)小题，D={(x,y)丨-1≤x≤0，-x-1≤y≤x+1}∪{(x,y)丨0≤x≤1，x-1≤y≤1-x}。∴原式=∫(-1,0)dx∫(-x-1,x+1)(y-x)dy+∫(0,1)dx∫(x-1,1-x)(y+x)dy=…=4∫(0,1)x(1-x)dx= 2/3。(3)小题，D={(x,y)丨0≤x≤1，0≤y≤x}。∴原式=∫(0,1)xdx∫(0,x)sin(y/x)dy=(1-cos1) ∫(0,1)xdx=(1-cos1)/2。(4)小题，D={(x,y)丨0≤x≤y，π/2≤y≤π}。∴原式=∫(π/2,π)dy∫(0,y) sinydx/y=∫(π/2,π)siny=1。(5)小题，D={(x,y)丨-1≤x≤1，x2≤y≤1}∪{(x,y)丨-1≤x≤1，0≤y≤x2}。∴原式=∫(-1,1)dx∫(x2,1)(y-x2)dy+∫(-1,1)dx∫(0,x2)(x2-y)dy=∫(-1,1)(1/2-x2+x^4) dx=11/15。 2大题(1)小题， 设x=ρcosθ，y=ρsinθ。∴0≤θ≤2π，1≤ρ≤2。 ∴原式=∫(0,2π)dθ∫(1,2) ρdρ /(1+ρ2)=πln(5/2)。(2)小题， 设x=ρcosθ，y=ρsinθ。∴0≤θ≤2π，0≤ρ≤a。 ∴原式=∫(0,2π)丨cosθsinθ丨dθ∫(0,a)ρ3dρ=(a^4/8)∫(0,2π)丨sin2θ丨dθ=(a^4)/2。(3)小题， 设x=ρcosθ，y=ρsinθ。∴0≤θ≤π/4，1≤ρ≤2。 ∴原式=∫(0,π/4)arctan(tanθ)dθ∫(1,2)ρdρ=(3/2)∫(0,π/4) arctan(tanθ)dθ。令t=tanθ，原式=(3/2)∫(0,1)arctantdt/(1+t2)=3π2/16。供参考。