交点法输入曲线要素
圆锥曲线，是由一平面截二次锥面得到的曲线。圆锥曲线包括椭圆（圆为椭圆的特例）、抛物线、双曲线。起源于2000多年前的古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线。
圆锥曲线（二次曲线）的（不完整）统一定义：到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离的商是常数e（离心率）的点的轨迹。当e>1时，为双曲线的一支，当e=1时，为抛物线，当0<e<1时，为椭圆，当e=0时，为一点。
2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线[1-3] ，并获得了大量的成果。古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行于圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一支（把圆锥面换成相应的二次锥面时,则可得到双曲线）。
阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。
几何观点
用一个平面去截一个二次锥面，得到的交线就称为圆锥曲线（conic sections）。
通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。具体而言：
1) 当平面与二次锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。
2) 当平面与二次锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。
3) 当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。
4) 当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥的对称轴垂直，结果为圆。
5) 当平面只与二次锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果为一点。
6) 当平面与二次锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线（每一支为此二次锥面中的一个圆锥面与平面的交线）。
7) 当平面与二次锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。
注意，上述曲线类中不含有二次曲线：两平行直线。
代数观点
的图像称为二次曲线。根据判别式的不同，包含了椭圆、双曲线、抛物线以及各种退化情形。
焦点--准线及其推广观点
传统的焦点-准线统一定义
（许多年来沿用的焦点--准线观点只能定义圆锥曲线的主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。但因其形式简明美观，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质，而受青睐并广泛运用。）
给定一点P，一直线L以及一非负实常数e，则到P的距离与L距离之比为e的点的轨迹是圆锥曲线。
根据e的范围不同，曲线也各不相同。具体如下：
1) e=0，轨迹为一点或一个圆；
2) e=1（即到P与到L距离相同），轨迹为抛物线；
3) 0<e<1，轨迹为椭圆；
4) e>1，轨迹为双曲线。
2.一、二次曲线的统一定义
（《数学通报》2016.12期《一、二次曲线的轨迹统一及性质》一文中，我国中学数学教师胡新平将焦点--准线进行了推广，从而可以给出以下完整的一、二次曲线的统一定义）
平面上有两条互相垂直且相交于点E的直线l，m，点F是直线m上的一定点，|EF|=p，点N 是直线l上一动点，轨迹动点M同时满足下列两条件：
（Ⅰ）动点N与动点M到定直线m的有向距离Nm与Mm有
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Nm=（1+t）Mm，其中t为实常数；
（Ⅱ）动点M到定点F的距离|MF|与到动点N的距离|MN|有
|MF|=e|MN|，其中e为非负常数，
则在直角坐标变换观点下，动点M的轨迹是一、二次曲线
（约定e=1，t =1，p=0不同时成立）．
点 M 的轨迹具体情形如下：
（A）p≠0时：含六类一、二次曲线类．
e≠0时，
（1）当e=1，|t|=1 时，轨 迹 是 一 条 一 重直线；
（2）当e=1，|t|≠1时，轨迹是抛物线；
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（3）当e<1，e|t|<1， 或e>1,e|t|>1时，轨迹是椭圆．其中|t|=1时是圆；
（4）当e≠1，e|t|=1 时，轨 迹 是 两 条 平 行直线；
（5）当e<1,e|t|>1时，或e>1，e|t|<1时，轨迹是双曲线；
e=0时，轨迹是一点
（B）p=0时：含三类一、二次曲线类．
（1）当e<1,e|t|>1时，或e>1，e|t|<1时，轨迹是两条相交直线；
（2）当e=1，e|t|≠1时，或e≠1，e|t|=1时，轨迹是两条重合直线；
（3）当e<1，e|t|<1，或e>1，e|t|>1时，轨迹是一点．
称其中的定点F 和定直线l为对应轨迹曲线 的拟焦点和与拟焦点F相应的拟准线．
（以下以纯几何方式叙述主要的圆锥曲线通用的概念和性质，由于大部分性质是在焦点－准线观点下定义的，对于更一般的退化情形，有些概念可能不适用。）
考虑焦点--准线观点下的圆锥曲线定义。定义中提到的定点，称为圆锥曲线的焦点；定直线称为圆锥曲线的准线；固定的常数（即圆锥曲线上一点到焦点与准线的距离比值）称为圆锥曲线的离心率；焦点到准线的距离称为焦准距；焦点到曲线上一点的线段称为焦半径。过焦点、平行于准线的直线与圆锥曲线相交于两点，此两点间的线段称为圆锥曲线的通径，物理学中又称为正焦弦。
圆锥曲线是光滑的，因此有切线和法线的概念。
类似圆，与圆锥曲线交于两点的直线上两交点间的线段称为弦；过焦点的弦称为焦点弦。
对于同一个椭圆或双曲线，有两个“焦点－准线”的组合可以得到它。因此，椭圆和双曲线有两个焦点和两条准线。而抛物线只有一个焦点和一条准线。
圆锥曲线关于过焦点与准线垂直的直线对称，在椭圆和双曲线的情况，该直线通过两个焦点，该直线称为圆锥曲线的焦轴。对于椭圆和双曲线，还关于焦点连线的垂直平分线对称。
Pappus定理：圆锥曲线上一点的焦半径长度等于该点到相应准线的距离乘以离心率。
Pascal定理：圆锥曲线的内接六边形，若对边两两不平行，则该六边形对边延长线的交点共线。（对于退化的情形也适用）
Brianchon定理：圆锥曲线的外切六边形，其三条对角线共点。
一、二次曲线的统一方程和性质可以参看《数学通报》2016，12期《一、二次曲线的轨迹统一及性质》一文。
椭圆
文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。平面内一个动点到两个定点（焦点）的距离和等于定长2a的点的集合（设动点为P，两个定点为F1和F2，则PF1+PF2=2a）。定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
（θ为参数，0≤θ≤2π)
双曲线（的一支）
文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e;平面内一个动点到两个定点（焦点）的距离差等于定长2a的点的集合（设动点为P，两个定点为F1和F2，则│PF1-PF2│=2a）定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。
椭圆
从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上。椭圆相当于凸透镜。
双曲线
从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。双曲线相当于凹透镜。
抛物线
从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的对称轴。
一束平行光垂直于抛物线的准线，向抛物线的开口射进来，经抛物线反射后，反射光线汇聚在抛物线的焦点。抛物线相当于凹面镜。
希望我能帮助你解疑释惑。
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