Question

设β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α1+α3且向量组α1,α2,α3线性无关,证明:向量组β1,β2,β3线性无关？

设β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α1+α3且向量组α1,α2,α3线性无关,证明:向量组β1,β2,β3线性无关

Answer 1

只须证明它们可以互相线性表示即可。
β 可用 α 表示，这是已知的；
利用三个等式，可解出 α1 = (β1+β3-β2)/2，
α2=(β1+β2-β3)/2，α3=(β2+β3-β1)/2，
因此它们等价，秩相等，
由于 α 线性无关，因此 β 也线性无关。