Question

双曲线x2/4-y2/b2=1的两个焦点F1 F2,P为双曲线上一点 PF1 ,F1F2, PF2成等比数列

是等比数列

Answer 1

设F1、F2坐标为(-c,0)，(c,0)，|F1F2|=2c
焦点在x轴上，a=2，c^2=4+b^2，
设|PF2|=x，根据双曲线“动点与两个定点距离之差的绝对值为定值2a”的基本性质得：
||PF1 |-|PF2 ||=2a=4
又因为|PF2|<4，所以：|PF1|=x+2a=x+4，且：
c-2=c-a≤x<4
由|PF1 |•|PF2 |= |F1F2|得：x(x+4)=2c
F(x)=x^2+4x-2c=0
F(x)=0在[c-2,4)有解
F(0)=-2c<0，所以
F(c-2)≤0，代入得：c^2-2c-4<0，解得：1-√5≤c≤1+√5
F(4)>0，代入得：16+16-2c>0，解得：c<16
所以：2<c≤1+√5
所以：c^2=4+b^2≤(1+√5)^2=6+2√5=10.47……
b^2≤6.47……
因为b∈N，所以b只能取1或2
b=1时，双曲线方程为：x^2/4-y^2/1=1
b=2时，双曲线方程为：x^2/4-y^2/4=1