Question

高等数学求极值问题？

第17题

Answer 1

解题过程如图所示，这个题目要把边界考虑进去，有不清楚的可以讨论

Answer 2

17. D : y = 5x^2, y = 1 交于 M(-1/√5, 1), N(1/√5, 1)， 1/√5 ≈ 0.447.
f = 3xy-7x-3y, f'<x> = 3y-7, f'<y> = 3x-3, 得唯一驻点 P(1, 7/3)，
P 显然在 D 区域之外。最值应在边界上。
边界 y = 1， 则 f(x, 1) = -4x-3 ， f'(x, 1) = -4, 递减，
f(M) = 4/√5 - 3 ≈ -1.21, f(N) = -4/√5 - 3 ≈-4.79;
边界 y = 5x^2， 则 f(x, 5x^2) = 15x^3-15x^2-7x ，
f' = 45x^2-30x-7, 驻点 x = (30±√2160)/90 = (5±2√15)/15
x = (5+2√15)/15 ≈ 0.850, 在 D 外，
x = (5-2√15)/15 ≈ -0.183, 在 D 内，此时 f ≈ 0.687
f(0, 0) = 0
最大值约为 0.687， 最小值约为 -4.79