Question

在微分方程中 什么是齐次方程

Answer 1

等号左边为函数的各阶导数，等号右边为零的方程即为齐次方程。导数的最高阶数，即为方程的阶数。如y''+py'+qy=0为二阶齐次方程，而y''+py'+qy=x则为非齐次。

Answer 2

形如
dy/dx=f(y/x)的微分方程，称为齐次微分方程。
例如：dy/dx=y²/(xy-x²)可化为：
dy/dx=(y/x)²/[(y/x)-1],所以它是齐次微分方程。
y'+p(x)y=0
是一阶线性齐次方程；
而y'+p(x)y=q(x)则称为一阶线性非齐次方程。
二阶常系数线性微分方程的一般形式是：
y"+py'+qy=f(x),
对应于这个式子，y"+py'+qy=0
就是二阶常系数线性齐次方程。

Answer 3

“齐次”从词面上解释是“次数相等”的意思。
微分方程中有两个地方用到“齐次”的叫法：
1、形如y'=f(y/x)的方程称为“齐次方程”，这里是指方程中每一项关于x、y的次数都是相等的，例如x^2,xy,y^2都算是二次项，而y/x算0次项，方程y'=1+y/x中每一项都是0次项，所以是“齐次方程”。
2、形如y''+py'+qy=0的方程称为“齐次线性方程”，这里“齐次”是指方程中每一项关于未知函数y及其导数y',y'',……的次数都是相等的（都是一次），而方程y''+py'+qy=x就不是“齐次”的，因为方程右边的项x不含y及y的导数，是关于y,y',y'',……的0次项，因而就要称为“非齐次线性方程”。