一个数列的极限为0,怎么证明该数列前n项和的平均数的极限也为0
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设 lim(n→∞) an ＝ 0，
则对任意正数 ε＞0，存在正整数 N，使
当 n＞N 时有 |an|＜ε，
记 M＝max(n≤N-1) {|anl}，则
|∑(k＝1→n) ak| / n
≤ [M(N-1)＋(n-N＋1)ε] / n，
对上述 ε 及 N，存在 N1＝[M(N-1)/2ε]＋1＞0 使当 n＞N1 时有 M(N-1)/n＜ε/2，
又当 n＞2N 时 (n-N＋1)ε/n＜ε/2，
取 N2＝max(N1，2N)，
则当 n＞N2 时有 |∑(k＝1→n) ak| / n＜ε，
所以 lim(n→∞) ∑ak / n ＝0。
则对任意正数 ε＞0，存在正整数 N，使
当 n＞N 时有 |an|＜ε，
记 M＝max(n≤N-1) {|anl}，则
|∑(k＝1→n) ak| / n
≤ [M(N-1)＋(n-N＋1)ε] / n，
对上述 ε 及 N，存在 N1＝[M(N-1)/2ε]＋1＞0 使当 n＞N1 时有 M(N-1)/n＜ε/2，
又当 n＞2N 时 (n-N＋1)ε/n＜ε/2，
取 N2＝max(N1，2N)，
则当 n＞N2 时有 |∑(k＝1→n) ak| / n＜ε，
所以 lim(n→∞) ∑ak / n ＝0。
追答
第六行应该是
≤ [MN＋(n-N)ε] / n，
后面相应的是 [MN/2ε]＋1 、MN/n＜ε/2、(n-N)ε/n＜ε/2 等。自行修改下
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