Question

线性代数特征向量和基础解系的区别，一直分不清有啥联系。

Answer 1

对于n阶矩阵A：特征向量是满足Aα=λα的列向量，在此，A的秩表示非零特征值的个数。

基础解系是满足AX=0的列向量，在此，A的秩用来判断基础解系中线性无关的解向量的个数，个数是n-r(A)个。通过对比AX=0和Aα=λα，可见，A的齐次解向量正好是A相应于λ=0的特征向量。

特征值向量对于矩阵而言的，特征向量有对应的特征值，如果Ax=ax，则x就是对应于特征值a的特征向量。而解向量是对于方程组而言的，就是“方程组的解”，是一个意思。

特征值

描述正方形矩阵的特征值的重要工具是特征多项式，λ是A的特征值等价于线性方程组(A – λI) v = 0 有非零解v ，因此等价于行列式|A – λI|=0。函数p(λ) = det(A – λI)是λ的多项式，因为行列式定义为一些乘积的和，这就是A的特征多项式。矩阵的特征值也就是其特征多项式的零点。

所有奇数次的多项式必有一个实数根，因此对于奇数n，每个实矩阵至少有一个实特征值。在实矩阵的情形，对于偶数或奇数的n，非实数特征值成共轭对出现。

以上内容参考：百度百科-特征向量

Answer 2

对于n阶矩阵A：
特征向量是满足Aα=λα的列向量，在此，A的秩表示非零特征值的个数。
基础解系是满足AX=0的列向量，在此，A的秩用来判断基础解系中线性无关的解向量的个数，个数是n-r(A)个。通过对比AX=0和Aα=λα，可见，A的齐次解向量正好是A相应于λ=0的特征向量。