Question

设A为n阶矩阵，I是n阶单位阵，怎么证明det(A^2+I)大于等于零？

A是一个实数矩阵，麻烦写一下具体步骤，谢谢！

Answer 1

[证法1] 因为A是正定阵，故存在正交矩阵Q，使
[*]
其中λi＞0(i=1，2，…，n)，λi是A的特征值．
因此QT(A+E)Q=QTAQ+QTQ=A+E．
两端取行列式，得
|A+E|=|QT||A+E||Q|=|QT(A+E)Q|=|A+E|=Ⅱ(λi+1)．
从而|A+E|＞1．
[证法2] 设A的n个特征值是λ1，λ2，…，λn．由于A是正定矩阵，故特征值全大于0．
因为A+E的特征值是λ1+1，λ2+1，…，λn+1，它们全大于1，根据|A|=Ⅱλi，知
|A+E|=Ⅱ(λi+1)＞1．

Answer 2

需要A是实矩阵结论才能成立(用特征值来证明), 如果A是复矩阵结论显然不成立.

追问

A是实矩阵，然后怎么证明啊？可以写一下具体步骤吗？谢谢

追答

看特征值就可以了，注意实矩阵的虚特征值会按共轭成对出现。