判定级数∑(1,+∞)n/2^n的敛散性
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因为当n趋于无穷时，π／2^n趋于0
所以根据等价无穷小的代换：sint〜t（t—＞0），
有sin[π
/(2^n)]〜π
/(2^n)（n—＞无穷）
所以[∞
∑
n=1]
sin[π
/(2^n)]的敛散性与[∞
∑
n=1]
π
/(2^n)相同
因为0＜1／2＜1，所以[∞
∑
n=1]
(π／2^n)收敛（等比级数：|公比|＜1时级数收敛）
从而由比较判别法的极限形式知原级数收敛
所以根据等价无穷小的代换：sint〜t（t—＞0），
有sin[π
/(2^n)]〜π
/(2^n)（n—＞无穷）
所以[∞
∑
n=1]
sin[π
/(2^n)]的敛散性与[∞
∑
n=1]
π
/(2^n)相同
因为0＜1／2＜1，所以[∞
∑
n=1]
(π／2^n)收敛（等比级数：|公比|＜1时级数收敛）
从而由比较判别法的极限形式知原级数收敛
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2024-10-13 广告
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