Question

设X~N（0，1），求Y=2X^2+1的概率密度

Answer 1

简单计算一下，答案如图所示

Answer 2

设标准正态分布的概率密度函数是φ(x),其分布函数是φ(x)
设y的分布函数为f(y),则
f(y)=p{y<=y}=p{2x^2+1<=y}
=p{-√[(y-1)/2]<=x<=√[(y-1)/2]}
=φ{√[(y-1)/2}-φ{-√[(y-1)/2}
=2φ{√[(y-1)/2}-1
φ(x)=∫(-∞,x)φ(t)dt=
(1/√2π)∫(-∞,x)
exp{-t^2/2}dt
代入即可

Answer 3

答案见下图。

Answer 4

设标准正态分布的概率密度函数是φ(x),其分布函数是Φ(x)
设Y的分布函数为F(y),则
F(y)=P{Y<=y}=P{2X^2+1<=y}
=P{-√[(y-1)/2]<=X<=√[(y-1)/2]}
=Φ{√[(y-1)/2}-Φ{-√[(y-1)/2}
=2Φ{√[(y-1)/2}-1
Φ(x)=∫(-∞,x)φ(t)dt=
(1/√2π)∫(-∞,x)
exp{-t^2/2}dt
代入即可

Answer 5

设标准正态分布的概率密度函数是φ(x),其分布函数是Φ(x)
设Y的分布函数为F(y),则
F(y)=P{Y<=y}=P{2X^2+1<=y}
=P{-√[(y-1)/2]<=X<=√[(y-1)/2]}
=Φ{√[(y-1)/2}-Φ{-√[(y-1)/2}
=2Φ{√[(y-1)/2}-1
Φ(x)=∫(-∞,x)φ(t)dt=
(1/√2π)∫(-∞,x)
exp{-t^2/2}dt
代入即可